Век - это столетие, то есть в одном веке сто лет. Как правило, обозначаются века римскими цифрами (I, II , V, XIX).
Первый век (обозначение: I) начался с 1 года и продлился до 100 года. Второй век (II) начался с 101 года и продлился до 200 года. Третий век (III) начался с 201 года и продлился до 300 года.
Поэтому продолжая хронологию веков получим, что:
1799 год, согласно распределению годов по векам, попадает с 1701 по 1800 год и, соответственно, это 18 век (XVIII):
1837 год попадает с 1801 по 1900 года и это 19 век (XIX).
Ответ: А. С. Пушкин родился в XVIII веке, а умер в XIX веке.