Чтобы доказать, что функция F(x) = 4√x + sin(5x) является первообразной для функции f(x) = 2/√x + 5cos(x), нужно показать, что производная F'(x) равна f(x). Сначала найдем производную F(x): 1. Для первого слагаемого, 4√x: Производная равна 4 * (1/2) * x^(-1/2) = 2/√x. 2. Для второго слагаемого, sin(5x): Используем правило дифференцирования: производная sin(5x) равна 5cos(5x). Теперь сложим обе производные: F'(x) = 2/√x + 5cos(5x). Сравним полученную производную с функцией f(x): f(x) = 2/√x + 5cos(x). Однако, мы видим, что F'(x) и f(x) отличаются по второму слагаемому: F'(x) содержит 5cos(5x), а f(x) содержит 5cos(x). Таким образом, F(x) не является первообразной для f(x) на заданном интервале (0; +∞).