Со словом "кот" в русском языке существует достаточное количество устойчивых сочетаний.
Самые известные фразеологизмы: "тянуть кота за хвост" - откладывать до последнего, делать медленно; "кот наплакал" - малое количество чего-либо, нехватка; "как коту валерьянки" - очень сильное желание, наслаждение, зависимость от чего-либо.