Докажем, что сумма внутренних углов n - угольника равна 180° * (n - 2).
Обозначим вершины многоугольника как V1 V2 V3 ... Vn.
Соединим вершину V1 диагоналями с вершинами V3 ... V(n-1).
Диагонали многоугольника разделят его на n - 2 треугольника, сумма углов которых, равна сумме углов n - угольника. Следовательно, сумма углов n - угольника - 180° * (n - 2).
Если в n - угольнике все углы равны К, то сумма всех его углов равна К * n.
Имеем:
180° * (n - 2) = К * n,
180° * n - 360° = K * n,
(180° - K) * n = 360°,
n = 360° / (180° - K).
а) Если все углы равны 90°, то n = 360° / (180° - K) = 360° / (180° - 90°) = 4.
б) Если все углы равны 60°, то n = 360° / (180° - K) = 360° / (180° - 60°) = 3.
в) Если все углы равны 120°, то n = 360° / (180° - K) = 360° / (180° - 120°) = 6.
г) Если все углы равны 108°, то n = 360° / (180° - K) = 360° / (180° - 108°) = 5.