Из одинаковых на вид монет мудрец может найти единственную фальшивую, сделав всего 4 взвешивания на

[QuizAce]

Как решить задачу 4 класса: - из одинаковых на вид монет мудрец может найти единственную фальшивую, сделав всего 4 взвешивания на чашечных весах без гирь. какое наибольшее число монет может быть у мудреца, если известно, что фальшивая монета более легкая?

 

[Профи]

Решаем с конца. На последнем этапе — 4-м, мудрец может выбрать фальшивую монету из трех монет. Если весы уравновесятся при одной монете в каждой чашке, значит фальшивая третья. Если на весы попадет фальшивая монета, то она окажется легче. 3-й этап. Мудрец, взвешивая по три монеты решит, в какой из 3 групп находится фальшивая. Алгоритм тот же что и в шаге 4. Всего: 3 * 3 = 9 монет. 2-й этап. Мудрец будет искать группу с фальшивой монетой среди 3 групп монет по 9 монет в каждой (9 * 3 = 27). 1-й этапе мудрец будет выбирать фальшивую группу между 3 группами по 27 монет. Всего монет: 27 * 3 = 81. Ответ: 81.

 

[Schlau]

Наибольшее число монет для одного взвешивания​

Для начала исследуем - из скольких монет мудрец может найти единственную фальшивую монету одним взвешиванием?
Если у мудреца всего три монеты, то положив на каждую чашу весов по одной монете, он сможет определить фальшивую монету:
если одна чаша весов легче другой, то на этой чаше и будет фальшивая монета;
если же весы находятся в равновесии, то фальшивой будет третья монета.
Очевидно, что если у мудреца четыре монеты, то одним взвешиванием он никак не может найти единственную фальшивую монету, следовательно, наибольшее число монет для одного взвешивания - 3.

Наибольшее число монет для двух взвешиваний​

Теперь рассмотрим случай двух взвешиваний. Соображение такое, что первым взвешиванием наш мудрец должен определить группу из трех монет, в которой находится фальшивая, а вторым взвешиванием, как было показано выше, из трех монет он уже сможет определить фальшивую.
Понятно, что максимальное число монет в данном случае - 9. Мудрец на каждую чашу весов кладет по три монеты, и таким же образом, как и в случае трех монет (для одного взвешивания), определяет тройку монет, в которой находится фальшивая монета.

Наибольшее число монет для n взвешиваний​

Из этих двух примеров следует, что каждым взвешиванием мудрец может уменьшить число монет до трех раз, а значит для n взвешиваний наибольшее число монет N можно вычислить по формуле:
N = 3n;

1. N(1) = 31 = 3;
2. N(2) = 32 = 9;
3. N(3) = 33 = 27;
4. N(4) = 34 = 81.

Ответ: наибольшее число монет для четырех взвешиваний - 81.