У глагола "бежать" корень "-беж-".
Чтобы верно определить корень любого слова, нужно подобрать родственные слова.
1. Пробежка.
Каждое утро он выходил на пробежку и нарезал круги вокруг дома.
2. Прибежище.
Нужно найти прибежище, пока дождь не начался.
3. Прибежать.
Мальчишка прибежал к нам и сообщил, что на вокзале только что случился большой скандал.
4. Беженец.
Беженцев нужно обеспечить жильем, горячим чаем и провизией.
5. Убежище.
Быстрее идите в убежище, сейчас начнется гроза, которая смоет все на своем пути!