На доске написано несколько пар положительных чисел. если пары (a.b) и (с.d) (не обязательно различн

[Sage]

Как подготовить ответ на задание 8 класса: - на доске написано несколько пар положительных чисел. если пары (a.b) и (с.d) (не обязательно различные) выписаны, то андрей также пишет и пару (2ac, ad + bc). через некоторое время андрей понял, что какую бы пару он ни выписал, отношение первого числа этой пары ко второму равно отношению первого числа пары ко второму в одной из уже выписанных пар. докажите, что это отношение для всех изначально выписанных пар было одинаковым.

 

[MathWhiz]

Пусть у нас есть две пары чисел (a, b) и (c, d). Андрей выписывает новую пару (2ac, ad + bc). По условию задачи, отношение первого числа новой пары ко второму числу новой пары равно отношению первого числа ко второму в одной из уже выписанных пар. То есть, для любой новой пары (2ac, ad + bc) должно выполняться следующее равенство: 2ac / ad + bc = a/b или 2ac / ad + bc = c/d Рассмотрим первое равенство: 2ac / ad + bc = a/b Умножим обе части на (b(ad + bc)): 2acb = a(ad + bc) Разделим обе части на (a) (предполагая, что (a =0): 2cb = ad + bc Перенесем все члены с (b) в одну сторону: 2cb - bc = ad Вынесем (b) за скобки: b(2c - c) = ad Упростим: bc = ad Разделим обе части на (cd) (предполагая, что (c = 0) и (d = 0): b/d = a/c Таким образом, отношение (a/b) для всех изначально выписанных пар одинаково, так как(a/b) = (c/d). Следовательно, отношение для всех изначально выписанных пар было одинаковым.