На острове было 13 красных, 15 зеленых и 17 синих хамелеонов. если встречаются два хамелеона разного

[ScienceKid]

Прошу содействия в выполнении задачи 4 класса: - на острове было 13 красных, 15 зеленых и 17 синих хамелеонов. если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (например, синий и зеленый - меняются на красный). может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны окажутся одного цвета?

 

[Brains]

На острове было 13 красных, 15 зеленых и 17 синих хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (например, синий и зеленый - меняются на красный). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны окажутся одного цвета? Ответ: Обозначим цвета хамелеонов: красный=0, зелёный=1, синий=2. Тогда получается, что встречи хамелеонов описываются суммами их цветов: 0+1 → 2+2 1+2 → 0+0 0+2 → 1+1 Заметим, что при встрече хамелеонов всегда неизменной остаётся сумма их цветов, взятая по модулю 3 (то есть, остаток от деления суммы цветов на 3). В самом деле, 0+1 (остаток = 1) → 2+2 =4 (остаток = 1) 1+2 (остаток = 0) → 0+0 = 0 (остаток = 0) 0+2 (остаток = 2) → 1+1 = 2 (остаток = 2) Это значит, что при любых встречах хамелеонов остаток от деления суммы всех цветов на 3 не изменится. Изначально сумма цветов хамелеонов была равна 13*0 + 15*1 + 17*2 = 49. 49 mod 3 = 1, поэтому как бы ни меняли свой цвет хамелеоны, остаток от деления суммы их цветов на 3 останется 1. В случае, если все хамелеоны стали бы одного цвета, остаток бы стал равен нулю (ведь 45*N всегда делится на три нацело), а значит, такого произойти не может. Все хамелеоны никогда не станут одного цвета!

 

[Nerd]

1. Количество хамелеонов каждого вида, после очередной встречи двух разноцветных хамелеонов, представим в виде последовательностей:

• Rn, красные хамелеоны;
• Gn, зеленые хамелеоны;
• Bn, синие хамелеоны.

Первоначально, для каждого вида имеем:

• R1 = 13;
• G1 = 15;
• B1 = 17.

3. Предположим, n-я встреча была между красным и зеленым хамелеонами. Тогда получим:

• R(n+1) = Rn - 1;
• G(n+1) = Gn - 1;
• B(n+1) = Bn + 2.

Разность количества хамелеонов в каждой паре:

• B(n+1) - R(n+1) = Bn + 2 - (Rn - 1) = Bn - Rn + 3;
• B(n+1) - G(n+1) = Bn + 2 - (Gn - 1) = Bn - Gn + 3;
• G(n+1) - R(n+1) = Gn - 1 - (Rn - 1) = Gn - Rn.

4. Полученные равенства показывают, что после очередной встречи, не меняется остаток этих разностей при делении на 3. Поскольку вначале ни в одной из трех пар разность не была кратна 3:

• G1 - R1 = 15 - 13 = 2;
• B1 - G1 = 17 - 15 = 2;
• B1 - R1 = 17 - 13 = 4 = 3 + 1,

то невозможно, чтобы все хамелеоны оказались одного цвета, иначе разность двух остальных видов была бы равна нулю, т. е. кратна 3.

 

[Brains]

Пусть c – число серых хамелеонов, а b – число бурых. Заметим, что остаток от деления c – b на 3 – инвариант. Действительно, при встрече серого хамелеона с бурым, разность не меняется, при встрече серого с малиновым – уменьшается на 3, а при встрече бурого с малиновым – увеличивается на 3. В начале указанный остаток равен 1. Если же все хамелеоны станут одного цвета, то он равен 0 (разность c – b равна 0 или ±45). Следовательно, это невозможно.