Сначала найдем наименьшее значение выражения z = x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13. Это выражение можно привести к каноническому виду. Для этого преобразуем его: z = (x^2 + 6x) + (y^2 + 4y) + 13. Сначала рассмотрим часть (x^2 + 6x). Мы можем использовать полный квадрат: x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9. Теперь рассмотрим (y^2 + 4y): y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4. Теперь подставим это в выражение для z: z = ((x + 3)^2 - 9) + ((y + 2)^2 - 4) + 13, z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 + 0. Таким образом, z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2. Наименьшее значение этого выражения будет равно 0, когда (x + 3)^2 = 0 и (y + 2)^2 = 0, то есть x = -3 и y = -2. Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения системе: 1. 3x + 2y >= 6: 3(-3) + 2(-2) = -9 - 4 = -13, что меньше 6. Значит, это не подходит. 2. x^2 + y^2 - 4x - 2y <= 4: (-3)^2 + (-2)^2 - 4(-3) - 2(-2) = 9 + 4 + 12 + 4 = 29, что больше 4. Тоже не подходит. Так как значения x = -3 и y = -2 не удовлетворяют условиям, необходимо исследовать границы и пересечения областей, заданных системой. Сначала построим границы этих условий: 1. Для неравенства 3x + 2y >= 6, граница: 2y = 6 - 3x, или y = 3 - (3/2)x. 2. Для неравенства x^2 + y^2 - 4x - 2y <= 4, преобразуем в стандартный вид окружности: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 <= 9 (окружность радиусом 3 с центром в точке (2, 1)). Теперь нужно найти точки пересечения границы y = 3 - (3/2)x и окружности (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9. Для этого подставляем первое уравнение во второе: (x - 2)^2 + (3 - (3/2)x - 1)^2 = 9. Решив это уравнение, получим координаты точек пересечения. Затем подставим найденные значения x и y обратно в исходное выражение z и выберем наименьшее значение. После нахождения всех подходящих точек для z, мы сможем определить наименьшее значение z, которое удовлетворяет условиям. Точное решение вручную довольно увлекательно, и я рекомендую использовать графические методы или программные средства для получения точных результатов в задачах с несколькими ограничениями.