Чтобы найти объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси ОХ, можно использовать формулу для объема вращения. Объём равен π интегралу от функции в квадрате от её пересечения с осью OX. Функция y = -x^2 + 2x пересекает ось OX, когда y = 0. Для этого приравняем у к нулю: -x^2 + 2x = 0, или x(-x + 2) = 0. Это даёт корни x = 0 и x = 2. Теперь найдём объем: V = π ∫(от 0 до 2)((-x^2 + 2x)^2)dx. Теперь вычислим интеграл: (-x^2 + 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2. Теперь подставляем в формулу для объема: V = π ∫(от 0 до 2)(x^4 - 4x^3 + 4x^2)dx. Вычисляем интеграл: V = π [ (x^5)/5 - (4x^4)/4 + (4x^3)/3 ] (от 0 до 2) = π [ (2^5)/5 - 2^4 + (4*2^3