Слово "старинные" отвечает на вопрос "какие?", т.е. является прилагательным. По правилам правописания, в таких суффиксах прилагательных как ин/ын и ан/ян пишется одна буква н. Но правило содержит уточнение: если прилагательное образовано от существительного, основа (часть слова без окончания) которого оканчивается на "н", мы должны эту "н" удвоить. Прилагательное "старинные" образовано от существительного "старина". Основа "старин" оканчивается на "н". Значит, в прилагательном пишем "нн".