Корень - это самая значимая часть слова, в нем заключено общее лексическое значение всех однокоренных слов.
Дождливый: корнем в слове является - дожд -, а однокоренное слово, в котором безударная буква оказывается в сильной позиции будет существительное дОждь.
Зимовать: в данном глаголе выделяется корень - зим -, родственным словом будет существительное зИмушка.
Грибник: безударная "и" в корне проверяется родственным словом грИб, корнем в анализируемом и родственном слове будет - гриб -.
Ветвистый: - ветв - корень, однокоренное с ударением на корень - вЕтви.